Statistica Applicata: Modelli per la generazione di serie storiche dei prezzi

Introduzione

Una serie storica $y(t)$ è la registrazione cronologica di osservazioni sperimentali di una variabile come ad esempio l’andamento dei prezzi, gli indici di borsa, lo spread e il tasso di disoccupazione. E’ quindi, una successione di dati ordinati nel tempo $Y_{t}$ con t=1,….,T da cui si vogliono estrarre informazioni per la caratterizzazione del fenomeno in osservazione e per la previsione di valori futuri.

Un modello stocastico per descrivere il processo generatore dei dati di una serie storica è dato da: $y_{t}=f(t)+u_{t}$ dove $f(t)$ costituisce la parte deterministica della serie mentre $u(t)$ la parte stocastica. Nel trattamento del modello si distinguono due approcci, quello classico e quello moderno. La principale differenza tra i due approcci consiste nella diversa interpretazione e attenzione rivolta alla componente stocastica. Nell'approccio classico si ipotizza che $u_{t}$ sia un rumore bianco quindi costituito da una successione di variabili aleatorie indipendenti, identicamente distribuite, di media nulla e varianza costante e dunque trascurabile. Al contrario nell'approccio moderno si suppone che la componente stocastica sia un processo a componenti correlate.

Random Walk

Il processo stocastico più semplice è la “Random Walk” ossia la passeggiata aleatoria. Il terminerandom walk è stato introdotto da Karl Pearson nel 1905; essa studia il moto di una particella puntiforme vincolata a muoversi lungo una retta nelle due direzioni consentite. Ad ogni movimento essa si sposta, a caso, di un passo verso l’alto, con una probabilità fissata ${p}$ o verso il basso con probabilità ${1-p}$ , e ogni passo è di lunghezza uguale e indipendente dagli altri.
Questo comportamento ricorda quello di una moneta sbilanciata: la probabilità che escano esattamente ${k}$ teste e ${n-k}$ croci, sapendo che la probabilità che esca testa è uguale a ${p}$ è:

$P(k,n,p)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$

Proprietà:

Essendo la distribuzione una binomiale si avrà:
$E=np$
$V=np(1-p)$

La passeggiata aleatoria binomiale è un caso particolare della passeggiata aleatoria additiva: $V_{t}=V_{t-1}+a_{t}$ dove $a_{t}$ è una variabile casuale. Se la variabile casuale deriva da una distribuzione normale si ottiene il modello Random Walk nel continuo; in questo caso i modelli delle passeggiate aleatorie ci forniscono un valido strumento per modellare le distribuzioni dei prezzi finanziari. Ad esempio la serie dei prezzi che tendono a crescere nel tempo può essere modellata con un Random Walk con deriva: $V_{t}=\mu+V_{t-1}+a_{t}$ . Uno svantaggio dei tradizionali modelli di passeggiate aleatorie è che essi prevedono l’utilizzo di dati provenienti da distribuzioni normali o log-normali.

Un metodo per generare coppie di numeri casuali indipendenti e distribuiti normalmente con media nulla e varianza uno è la distribuzione di Box-Muller. Essa può essere espressa in due forme: la forma base e la forma polare. La forma principale è quella base: si campionano due numeri dalla distribuzione uniforme sull'intervallo (0,1] e si ricavano due numeri distribuiti normalmente. La forma polare, invece, campiona due numeri su un intervallo differente [−1,+1] e permette di ricavare due numeri distribuiti normalmente senza l’uso delle funzioni seno e coseno.

Forma base:

Siano $U_{1}$ e $U_{2}$ due variabili aleatorie indipendenti ed uniformemente distribuite nell’intervallo (0,1].

Sia $Z_{0}=Rcos(\Theta )=\sqrt{-2logU_{1}}cos(2\pi U_{2})$ e $Z_{1}=Rsen(\Theta )=\sqrt{-2logU_{1}}sen(2\pi U_{2})$ allora $Z_{0}$ e $Z_{1}$ sono variabili aleatorie indipendenti con distribuzione normale. La dimostrazione di quanto detto sta nel fatto che, in un sistema cartesiano in cui le coordinate X e Y sono descritte da variabili aleatorie indipendenti e normalmente distribuite, le variabili casuali $R^{2}$ e $\Theta$ , nelle corrispondenti coordinate polari, sono a loro volta indipendenti e uguali a $R^{2}=-2lnU_{1}$ e $\Theta =2\pi U_{2}$

Forma polare:

La forma polare viene attribuita a Devroye. Essa afferma che assegnati $u$ e $v$ , indipendenti ed uniformemente distribuiti nell’intervallo [-1,+1], si pone $s= R^{2}= u^{2}+v^{2}$ . Se $s=0$ o $s>1$ , i valori attuali di $u$ e $v$ vengono trascurati e si considera una nuova coppia di valori $(u,v)$ . Si continua così fino a quando non si trova una coppia con $s$ nell’intervallo (0,1).

Dal momento che $u$ e $v$ sono distribuiti uniformemente e poiché solo i valori all’interno della circonferenza unitaria vengono accettati, allora anche i valori di $s$ saranno uniformemente distribuiti nell’intervallo (0,1).
Dunque $s=U_{1}$ della forma base. Mentre i valori $cos\Theta =cos2\pi U_{2}$ e $sen\Theta=sen 2\pi U_{2}$ della forma base possono essere sostituiti con i seguenti rapporti: $cos\Theta=\frac{u}{R}=\frac{u}{\sqrt{s}}$ e $sen\Theta=\frac{v}{R}=\frac{v}{\sqrt{s}}$ . Il vantaggio di questa trasformazione è che non compaiono più le forme trigonometriche. Abbiamo quindi ottenuto due variabili gaussiane a varianza unitaria. Sostituendo si ha:
$Z_{0}=\sqrt{-2lnU_{1}}cos(2\pi U_{2})=\sqrt{-2lns}(\frac{u}{\sqrt{s}})=u\sqrt{\frac{-2lns}{s}}$ e
$Z_{1}=\sqrt{-2lnU_{1}}sen(2\pi U_{2})=\sqrt{-2lns}(\frac{v}{\sqrt{s}})=v\sqrt{\frac{-2lns}{s}}$

Confronto tra le due forme:

La forma polare differisce da quella base in quanto è un esempio di tecnica di rigetto. Vengono scartati alcuni numeri casuali, ma l’algoritmo è più veloce perché meno oneroso da valutare numericamente e tipicamente più robusto. Si evita l’utilizzo delle funzioni trigonometriche che sono tipicamente più costose delle divisioni.
La forma base richiede tre moltiplicazioni, un logaritmo, una radice quadrata ed una funzione trigonometrica per ciascun numero casuale normalmente distribuito.
La forma polare richiede due moltiplicazioni, un logaritmo, una radice quadrata ed una divisione per ciascun numero gaussiano. L’effetto è quello di sostituire una moltiplicazione ed una funzione trigonometrica con una sola divisione.

Moto browniano

Il moto browniano è un modello probabilistico utilizzato inizialmente per descrivere l’evoluzione nel tempo di fenomeni rilevanti del mondo fisico, come i movimenti nello spazio di particelle immerse in un fluido, e successivamente applicato con successo anche a problematiche di tipo economico-finanziario. In particolare è il moto browniano geometrico (GBM) ad essere utilizzato per la descrizione dell’evoluzione nel tempo del prezzo delle azioni. . La formula matematica che lo descrive è quella del modello di Black-Scholes, il quale studia, appunto, l’andamento nel tempo del prezzo di strumenti finanziari. Punto di partenza di questo approccio è l’ipotesi che, sotto una particolare misura di probabilità, il rendimento atteso del sottostante (attività da cui dipende il derivato, cioè il titolo il cui prezzo è basato sul valore di mercato di un altro strumento finanziario) sia pari al tasso d’interesse non rischioso r; sulla base del Modello di Black-Scholes di moto browniano geometrico, il prezzo del sottostante soddisferà l’equazione differenziale stocastica:

$dS=\mu Rdt+\sigma SdW_{t}$

dove $W_{t}$ è un moto browniano standard e $\mu$ e $\sigma$ costanti reali.

L’equazione ha soluzione $S_{t}=S_{0}exp\left \{ \left ( \mu-\frac{1}{2}\sigma^{2} \right )t+\left ( W_{t}-W_{0} \right ) \right \}$ . La variabile aleatoria $ln(\frac{S_{t}}{S_{0}})$ ha distribuzione normale con valore atteso $(\mu-\frac{\sigma^{2}}{2})t$ e varianza $\sigma^{2}t$ : il prezzo dell’azione ha distribuzione log-normale.

Applicazioni più sofisticate considerano moti browniani geometrici multidimensionali che consentono di analizzare l’evoluzione dei prezzi di portafogli di attività finanziarie e di derivati su tali portafogli. Un’altra variante è costituita dai moti browniani frazionari, ritenuti particolarmente utili nell’analisi di serie storiche per le loro proprietà di autosimilarità (invarianza dei comportamenti rispetto alla scala utilizzata per descrivere il fenomeno).

Un limite del moto browniano geometrico è che, essendo un processo markoviano, dipende solo dall’ultima osservazione, quindi si basa sull’assunzione che, applicato alle variazioni dei prezzi nel tempo, esse siano tra di loro indipendenti. La soluzione sarebbe considerare il fenomeno della Mean Reversion intesa come la tendenza dei prezzi azionari ad essere “attratti” verso il loro valore medio di lungo periodo. La differenza tra un processo di Mean Reversion ed il moto Browniano è semplicemente nel termine di deriva: infatti esso è positivo se il livello di prezzo corrente è inferiore alla media e negativa se il livello di prezzo è superiore, indicando appunto che tale livello di equilibrio attrae verso di sé la deriva.

Guardando il grafico possiamo notare come i valori assunti dai prezzi considerando il moto browniano geometrico tendono ad assumere valori poco reali nel lungo periodo; invece analizzando il secondo grafico, quello in cui i prezzi vengono modellati secondo un moto browniano geometrico with reversion, possiamo vedere come i valori tendono a stabilirsi attorno al valore medio.

Una conseguenza importante, quindi , del Moto Browniano Geometrico with mean reversion è che le variazioni di prezzo risultano correlate tra loro, e non più indipendenti come nel caso GBM.

Il primo articolo significativo che documentò questo fenomeno fu quello di James Poterba e Lawrence Summers (1988) i quali partendo dall’analisi della varianza dei rendimenti per gli Stati Uniti ed altri 17 paesi sono giunti alla conclusione che sebbene a livelli statistici convenzionali non possa essere rigettata l’ipotesi del Random Walk, è riscontrabile una correlazione negativa nei rendimenti per periodi superiori ad un anno, ed una correlazione positiva per periodi brevi.

Fonti:

http://it.wikipedia.org
http://www.algorithm.cs.sunysb.edu
http://www.treccani.it
,http://www.webalice.it ,
http://www.performancetrading.it

Statistica Applicata

lunedì 9 maggio 2016

Modelli per la generazione di serie storiche dei prezzi

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